正解：✕
「登録の移転の申請をしなければならない。」の部分が誤り。
宅地建物取引士が勤務先を移動した場合、登録の移転をすることはできます。（宅建業法19条の２）
しかし、「任意」なので、「登録の移転の申請を、必ずしなければならない」わけではありません。
正解：✕
「登録の移転の申請をすることができる。」の部分が誤り。
自分の住所に変更があっただけでは、登録の移転の申請をすることはできません。
登録の移転は、業務に従事する事務所が、登録地以外の都道府県に変わる場合に申請ができます。
正解：✕
「移転後新たに５年を有効期間」の部分が誤り
移転後の都道府県知事から交付される宅建証の有効期間は、従前の宅建士証の「有効期間」を引き継ぐことになります。
残りの期間を引き継ぐのであって、有効期間が新たに５年となるわけではありません。（宅建業法22条の2）
なお、宅建業の免許の場合は、免許換えによって、新免許の有効期間が新たに5年となります。
「宅建士」と「宅建業者」の規定を混同しやすいので、注意しましょう。