正解：✕
「本人がその旨を登録をしている都道府県知事に届け出ることはできない。」の部分が誤り。
本人・法定代理人・同居家族によって、届け出ることができます。
心身の故障により宅地建物取引業を適正に営むことができない者となった場合は、本人又はその法定代理人若しくは同居の親族が、その旨を登録をしている都道府県知事に届け出なければなりません。（宅建業法第21条3号）
－もっと詳しい解説－
「精神の機能の障害により宅地建物取引業を適正に営むに当たって必要な認知、判断及び意思疎通を適切に行うことができない者」は「心身の故障により宅地建物取引業を適正に営むことができない者」とされています。（宅地建物取引業法施行規則第３条の２）
「心身の故障により宅地建物取引業を適正に営むことができない者」については、その事実を知った日から30日以内に、その旨を当該登録をしている都道府県知事に届け出なければなりません（宅建業法第21条）
そして「心身の故障により宅地建物取引業を適正に営むことができない者」となった場合、本人又はその法定代理人若しくは同居の親族が届け出なければならないとされています。（宅建業法第21条3号）
－参考－
宅建業法第18条1項12号
心身の故障により宅地建物取引士の事務を適正に行うことができない者として国土交通省令で定めるもの
宅地建物取引業法施行規則第３条の２
（心身の故障により宅地建物取引業を適正に営むことができない者）精神の機能の障害により宅地建物取引業を適正に営むに当たって必要な認知、判断及び意思疎通を適切に行うことができない者
宅建業法第21条（死亡等の届出）
第十八条第一項の登録を受けている者が次の各号のいずれかに該当することとなつた場合においては、当該各号に定める者は、その日（第一号の場合にあつては、その事実を知つた日）から三十日以内に、その旨を当該登録をしている都道府県知事に届け出なければならない。
宅建業法第21条3号三 第十八条第一項第十二号に該当するに至つた場合 本人又はその法定代理人若しくは同居の親族
正解：✕
「死亡した日から30日以内に」が誤り
正しくは「死亡の事実を知った日から30日以内に」
宅建士の登録を受けているものが死亡した場合、その相続人は、死亡の事実を知った日から、30日以内にその旨を登録している都道府県知事に届けなければなりません。（宅建業法 第21条）
宅建業法第21条（死亡等の届出）
第十八条第一項の登録を受けている者が次の各号のいずれかに該当することとなつた場合においては、当該各号に定める者は、その日（第一号の場合にあつては、その事実を知つた日）から三十日以内に、その旨を当該登録をしている都道府県知事に届け出なければならない。
正解：✕
「破産管財人が」の部分が誤り。
正しくは「本人が」
宅建士が破産手続き開始の決定を受けた場合は、本人がその日から30日以内に、登録をしている都道府県知事に届出をしなければなりません。（宅地建物取引業法21条２号 、宅地建物取引業法18条１項２号）。
このため、宅建士Ａ本人が甲県知事に、その旨を届け出なければなりません。
宅建業法第21条（死亡等の届出）
第十八条第一項の登録を受けている者が次の各号のいずれかに該当することとなつた場合においては、当該各号に定める者は、その日（第一号の場合にあつては、その事実を知つた日）から三十日以内に、その旨を当該登録をしている都道府県知事に届け出なければならない。
宅地建物取引業法21条２号
第十八条第一項第一号から第八号までのいずれかに該当するに至つた場合 本人
宅地建物取引業法18条（宅地建物取引士の登録）試験に合格した者で、宅地若しくは建物の取引に関し国土交通省令で定める期間以上の実務の経験を有するもの又は国土交通大臣がその実務の経験を有するものと同等以上の能力を有すると認めたものは、国土交通省令の定めるところにより、当該試験を行つた都道府県知事の登録を受けることができる。ただし、次の各号のいずれかに該当する者については、この限りでない。
宅地建物取引業法18条１項２号
破産手続開始の決定を受けて復権を得ない者